美國專家拉爾夫.文斯談賭博
向空中拋一枚硬幣。這一瞬間，你便體驗到自然界最令人著迷的悖論之一—-隨機過程。當硬幣在空中的時候，我們不能確定它落地後是正面還是反面朝上。然而，經過多次拋擲，我們就能合理地預測結果。
儘管足夠奇怪，但是，關於隨機過程存在著大量的誤解和誤導。我們的祖先試圖解釋隨機過程，而在這樣的嘗試中，他們創造了我們今天所說的迷信。除了概率和統計課上學到的一點皮毛之外，大多數人從未在學校學過一點有關隨機過程的知識。隨機過程幾乎一直被錯誤地理解，這有什麼好奇怪的嗎？
因此，我們就從這裡開始討論。
在討論隨機過程時，我們會給出一些公理。這些公理中的第一條就是：隨機過程中一個獨立事件的結果無法被預測。然而，我們可以將可能的結果簡化為概率陳述。
皮埃爾.西蒙.拉普拉斯（Pierre Simone Laplace，1749-1827）將一個事件的概率定義為事件可能的發生方式的數目與事件總的可能數目的比率。因此，當我們擲一枚硬幣時，得到反面的概率為1（一枚硬幣反面的數目）除以2（可能事件的數目），概率為0.5。在我們擲硬幣的例子中，我們不知道結果是正面還是反面，但是，我們確切地知道結果為正面的概率為0.5，結果為反面的概率為0.5。因此，概率陳述就是一個位於0（所考慮的事件問題根本沒有機會發生）和1（事件確定會發生）之間的數字。
通常，你要將概率陳述轉換為機率，反之亦然。這兩個概念是可以互換的，因為機率表示概率，而概率也表示機率。現在，我們給出這些轉換。當機率已知時，機率轉換為概率的公式為：
概率=（正機率/（正機率+逆機率））
例如，如果一匹賽馬的機率為4比1（4：1），則，這匹馬獲勝的概率（如機率所暗含的）即為：
概率=（1/（1+4））
=（1/5）
=0.2
因此，一匹4：1的賽馬也可以被說成有0.2的獲勝概率。如果機率為5比2（5：2）結果又如何？在這種情況下，概率為：
概率=（2/（2+5））
=（2/7）
=0.2857142857
從概率轉換為機率的公式為：
機率（逆，比一）=（1/概率）-1
因此，對於我們擲硬幣的例子，當出現正面的概率為0.5時，出現正面的機率如下式給出：
機率=（1/0.5）-1
=2-1
=1
這個公式給你的總是機率「比一（to one）」。在這個例子中，我們可以說成出現正面的機率為1比1。
我們前面的例子又是怎樣的情況？在那個例子中，我們將5：2的機率轉換為0.2857142857的概率。我們來將概率陳述轉換回機率，看看能否做到。
機率=（1/0.2857142857）-1
=3.5-1
=2.5
這裡，我們可以說成這種情況下的機率為2.5比1，與說成機率為5比2是一樣的。因此，當某個人說到機率時，他也就是在說概率陳述。
大多數人不會處理概率陳述的不確定性；這只是因為他們沒有很好地理解概率陳述。我們生活在一個精密科學的世界中，而人類的天性是相信自己無法理解那些只能簡化為概率陳述的事件。在量子物理學問世之前，物理學的王國似乎是穩固的。我們有方程式用來說明我們觀察到的大多數過程。這些方程式是真實的，可以證明的。它們反覆出現，在事件發生之前結果就能夠精確地計算出來。隨著量子物理學的問世，一切突然到此為止，精密科學僅僅能夠將物理現象簡化為概率陳述。可以理解，這使許多人感到不安。
我並非是在支持價格運動的隨機漫步觀念，也不是在要求你們接受市場是隨機的觀念。無論如何，這不是我的目的。像量子物理學一樣，市場中是否存在隨機性是一種情感化的觀念。到這一階段，讓我們把注意力只集中於隨機過程，因為這與某種我們確信是隨機的事物有關，比如擲硬幣或賭場的賭博。如此，我們首先可以理解隨機過程，然後可以研究其應用。隨機過程是否適用於其他領域（比如市場），是一個可以稍後提出的問題。
從邏輯上來講，有個問題必然會出現：「隨機序列何時開始何時終結？」隨機序列實際上沒有終結。即使你離開牌桌，二十一點牌戲仍在繼續。當你在賭場中從一桌換到另一桌時，我們可以說隨機過程一直跟隨著你。如果某天你離開了牌桌，隨機過程可能會中斷，但是，你一回來它就繼續下去。因此，當我們談到事件X的隨機過程的長度時，我們是為了研究隨機過程而主觀地挑選某些有限的長度。
獨立試驗過程VS條件試驗過程（INDEPENDENT VERSUS DEPENDENT TRIALS PROCESSES）
我們可將隨機過程分為兩種類型。第一種是那些一個事件到下一個事件的概率陳述固定不變的事件。我們將這些稱為獨立試驗過程或放回抽樣。擲硬幣就是這種隨機過程的一個例子。不管前一次拋擲的結果如何，每次拋擲的概率都是50/50。即使前5次拋硬幣都出現正面，再拋一次硬幣出現正面的概率並不受影響，仍然是0.5。
在另一種隨機過程中，事件的概率陳述必然受到前一事件結果的影響，自然，一個事件到下一個事件的概率陳述不是固定不變的。這種類型的事件被稱為條件試驗過程或不放回抽樣（sampling without replacement）。二十一點牌戲就是這種隨機過程的一個例子。一旦出過一張牌，這副牌的組成在抽下一張牌時就與抽上一張牌時不同。假定一副新牌已經洗過並拿走一張牌，比方說，拿走的是方塊A。在拿走這張牌之前，抽出一張A的概率是4/52或0.07692307692。既然已經從這副牌中抽出一張A而且不放回，那麼，下一次抽出一張A的概率就是3/51或0.5882352941。
有些人認為，上面這樣的條件試驗過程實際上並非隨機事件。儘管如此，為了我們討論問題，我們假定它們是隨機事件—-因為事件的結果仍然無法預先知道。最好的做法就是把結果簡化為概率陳述。設法將獨立試驗過程和條件試驗過程之間的區別考慮為僅僅在於，根據前面的結果，一個事件到下一個事件的概率陳述是固定的（獨立試驗）還是可變的（條件試驗）。實際上，這是它們之間唯一的區別。
任何事件都可以簡化為概率陳述。從數學的觀點來看，結果可以在事實之前知道的事件與隨機事件的區別僅僅在於其概率陳述等於1。例如，假定從一副52張的牌中拿走51張牌，而且你知道拿走的是哪些牌。因此，你知道剩下的那張牌是什麼的概率為1（確定性）。現在，我們要討論獨立試驗過程，尤其是簡單的拋擲硬幣。
數學期望（MATHEMATICAL EXPECTATION）
在這個問題上，我們需要理解數學期望的概念。數學期望有時也稱為遊戲者勝出（對遊戲者來說期望為正）或莊家佔優（對遊戲者來說期望為負）。
數學期望=（1+A）*P-1
其中，P=贏的概率
A=可能贏得的金額/可能輸掉的金額
因此，如果你正要拋擲一枚硬幣，出現正面你會贏得2美元，但出現反面你會輸掉1美元，每拋一次的數學期望為：
數學期望=（1+2）*0.5-1
=3*0.5-1
=1.5-1
=0.5
換句話說，每拋一次硬幣你預期平均贏得50美分。
這個剛剛描述的公式給出了有兩種可能結果的事件的數學期望。有兩種以上可能結果的條件下又當如何？下面的公式將給出結果為無限可能情況下的數學期望。它也能給出只有兩種可能結果的事件（比如剛才描述的2對1拋硬幣）的數學期望。因此，這個公式是優先的。
數學期望=
其中，P=贏或輸的概率
A=贏或輸的金額
N=可能結果的數目
數學期望的計算是將每種可能的贏或輸的金額分別與贏或輸的概率相乘，然後對乘積求和。
現在，我們來看在更複雜的新公式中2對1擲硬幣的數學期望：
數學期望=（0.5*2）+（0.5*（-1））
=1+（-0.5）
=0.5
當然，在這個例子中，你的數學期望是每拋一次平均贏得50美分。
假定你在玩一種遊戲，你必須猜中三個不同數字中的一個。每個數字出現的概率相同（0.33），但是，如果你猜中其中一個數字，你會輸掉1美元，如果你猜中另一個數字，你會輸掉2美元，如果你猜中正確的數字，你會贏得3美元。這種給定情況的數學期望（ME）為：
ME=（0.33*（-1））+（0.33*（-2））+（0.33*3）
=-0.33-0.66+0.99
=0
考慮對輪盤賭中的一個數字下注，你的數學期望為：
ME=（（1/38）*35）+（（37/38）*（-1））
=（0.02631578947*35）+（0.9736842105*（-1））
=（0.9210526315）+（-0.9736842105）
=-0.05263157903
如果你對輪盤賭（American double-zero，美國加倍-零式輪盤賭）中一個數字下注1美元，每轉一次你預期平均輸掉5.26美分。如果你下注5美元，每轉一次你預期平均輸掉26.3美分。注意：儘管以數量表示的不同的下注數量具有不同數學期望，但是，以數量的百分數表示的下注數量的數學期望總是相同的。
遊戲者對一系列下注的數學期望是單個下注的數學期望之和。因此，如果你在輪盤賭中對一個數字賭1美元，然後，對一個數字賭10美元，然後，對一個數字賭5美元，那麼，你的總期望為：
ME=（-0.0526*1）+（-0.0526*10）+（-0.0526*5）
=-0.0526-0.526-0.263
=-0.8416
因此，你預期平均輸掉84.16美分。
這個原理解釋了為什麼在贏或輸的金額已知時（假定為獨立試驗過程），試圖改變下注規模的系統是注定要失敗的。負期望賭注的總和總是負的期望！
實值序列、可能結果及正態分佈（EXACT SEQUENCES，POSSIBLE OUTCOMES，AND THE NORMAL DISTRIBUTION）
我們已經看到，拋一枚硬幣給出兩種可能結果（正面或反面）的概率陳述。我們的數學期望是這些可能結果的總和。現在，我們拋兩枚硬幣。可能結果如下表：
硬幣一 硬幣二 概率
正 正 0.25
正 反 0.25
反 正 0.25
反 反 0.25
這也可以表示為有25%的機會得到兩個正面，25%的機會得到兩個反面，50%的機會得到一個正面一個反面。以表格形式表示為：
組合 概率
二正零反 0.25 *
一正一反 0.50 **
零正二反 0.25 *
右邊的星號說明可以有多少種不同的組合方式。例如，在上面拋兩枚硬幣時，一正一反有兩個星號，因為有兩種不同的方式可以得到這種組合。硬幣A可以為正面硬幣B可以為反面，或者與此相反，硬幣A為反面，硬幣B為正面。表格中星號的總數就是在拋那麼多硬幣（兩枚）時，你可以得到的不同組合的總數。
如果拋三枚硬幣，我們會有：
組合 概率
三正零反 0.125 *
兩正一反 0.375 ***
一正兩反 0.375 ***
零正三反 0.125 *
對於四枚硬幣：
組合 概率
四正零反 0.0625 *
三正一反 0.25 ****
二正二反 0.375 *******
一正三反 0.25 ****
零正四反 0.0625 *
對於六枚硬幣：
組合 概率
六正零反 0.0156 *
五正一反 0.0937 ******
四正二反 0.2344 ***************
三正三反 0.3125 ********************
二正四反 0.2344 ***************
一正五反 0.0937 ******
零正六反 0.0156 *
這裡要注意：如果我們把星號作為縱軸繪製成曲線，我們就得出大家熟悉的鍾形曲線，也稱為正態分佈或高斯分佈（見圖1-1）。
圖1-1 正態概率函數
最後，對於十枚硬幣：
組合 概率
十正零反 0.001 *
九正一反 0.01 **********
八正二反 0.044 *****（45種不同方式）
七正三反 0.117 *****（120種不同方式）
六正四反 0.205 *****（210種不同方式）
五正五反 0.246 *****（252種不同方式）
四正六反 0.205 *****（210種不同方式）
三正七反 0.117 *****（120種不同方式）
二正八反 0.044 *****（45種不同方式）
一正九反 0.01 **********
零正十反 0.001 *
注意：隨著硬幣數的增加，全部得到正面或全部得到反面的概率將減小。當我們用兩枚硬幣時，全部得到正面或全部得到反面的概率為0.25。三枚硬幣的概率為0.125，四枚硬幣的概率為0.0625；六枚硬幣為0.0156，十枚硬幣為0.001。
（注）實際上，在純粹的統計學意義上，拋硬幣並不服從正態概率函數，而是屬於一種所謂的二項分佈（亦稱為伯努利分佈或拋硬幣分佈）。然而，隨著N的增大，二項分佈的極限接近於正態分佈（條件是相關概率不趨向於0或1）。這是因為正態分佈是自右至左連續的，而二項分佈則不是連續的，而且，正態分佈總是對稱的，而二項分佈則不一定是對稱的。因為我們處理的是拋有限枚硬幣，試圖使之對於拋硬幣具有普遍的代表性，加之概率總是等於0.5，故此，我們可將拋硬幣分佈作為正態分佈處理。需要進一步指出的是，如果事件發生N次的概率與對立事件發生N次的概率均大於0.5，正態分佈可以被用作二項分佈的近似。在我們拋硬幣的例子中，因為事件的概率為0.5（對於正面或反面），且對立事件的概率為0.5，則，只要我們處理的是N大於等於11的情況，我們就可以用正態分佈作為二項分佈的近似。
可能結果與標準差（POSSIBLE OUTCOMES AND STANDARD DEVIATIONS）
把一枚硬幣拋四次共計有16種可能的實值序列：
1. 正 正 正 正
2. 正 正 正 反
3. 正 正 反 正
4. 正 正 反 反
5. 正 反 正 正
6. 正 反 正 反
7. 正 反 反 正
8. 正 反 反 反
9. 反 正 正 正
10. 反 正 正 反
11. 反 正 反 正
12. 反 正 反 反
13. 反 反 正 正
14. 反 反 正 反
15. 反 反 反 正
16. 反 反 反 反
術語「實值序列」在這裡表示一個隨機過程的實際結果。給定條件下所有可能的實值序列的集合被稱為樣本空間。注意：上面所描述的拋四枚硬幣可以是一次拋所有四枚硬幣，或者是一枚硬幣拋四次（即，它可以是一個時間序列）。
審視一下實值序列「反-正-正-反」和序列「正-正-反-反」，我們會發現其結果對於單調下注者（即，對每一種場合下一個單位的賭注）可能一樣的。不過，對於非單調下注者，這兩個實值序列的最終結果可能會大不相同。對於單調下注者，拋四枚硬幣的序列僅有5種可能的結果：
4正
3正1反
2正2反
1正3反
4反
正如我們已看到的，拋四枚硬幣有16種可能的實值序列。這一事實可能會涉及到非單調下注者。我們將非單調下注者稱為「系統」遊戲者，因為那是他們最可能的行為—-基於某些他們認為自己已解決的方案進行變量下注。
如果你拋一枚硬幣4次，你當然只能看到16種可能的實值序列中的一種。如果你再拋4次，你會看到另一種實值序列（儘管你有1/16=0.0625的概率能夠看到同一種實值序列）。如果你前往一個遊戲桌觀看連續拋4次硬幣，你將只看到16種實值序列中的一種。你也會看到5種可能的最終結果中的一種。每個實值序列具有相等的發生概率，即0.0625。但是，每個最終結果並不具有相等的發生概率：
最終結果 概率
4正 0.0625
3正1反 0.25
2正2反 0.375
1正3反 0.25
4反 0.0625
大多數人不理解實值序列與最終結果之間的區別，結果是得出錯誤的結論，認為實值序列與最終結果是同一回事。這是一種可能會帶來大量麻煩的共有的誤解。是最終結果（而非實值序列）服從鍾形曲線—-即正態分佈，一種特殊類型的概率分佈。所有概率分佈一個有趣的特性就是統計學上所稱的標準差。
對於簡單的二項遊戲的正態概率分佈（比如我們這裡所用的拋硬幣的最終結果），標準差（SD）為：
SD=N*(((P*(1-P))/N)^(1/2))
其中，P=事件的概率（例如，出現正面的結果）。
N=試驗次數。
對於拋10枚硬幣的情況（即，N=10）：
SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)^(1/2))
=10*(((0.5*0.5)/10)^(1/2))
=10*((0.25/10)^(1/2))
=10*(0.025^(1/2))
=10*0.158113883
=1.58113883
某種分佈的中線為這種分佈的峰值。在拋硬幣的例子中，峰值位於正面和反面的平均數處。因此，對於拋10枚硬幣的序列，中線將位於5個正面5個反面處。對於正態概率分佈，大約有68.26%的事件位於自中線±1個標準差區域內，有95.45%的事件位於自中線±2個標準差區域內，有99.73%的事件位於自中線±3個標準差區域內（見圖1-2）。繼續我們的拋10枚硬幣的話題，1個標準差大約等於1.58。因此，我們可以說，拋10枚硬幣有68%的機會我們可以預期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）組成的最終結果為正面（或反面）。因此，如果我們得到7個正面（或反面），我們將位於預期結果的1個標準差之外（預期結果為5個正面或5個反面）。
圖1-2 正態概率函數：中心線及其兩側兩個標準差
這裡還有一個有趣的現象。注意：在我們拋硬幣的例子中，隨著拋硬幣次數的增加，均等得到正面反面的概率在減小。對於兩枚硬幣，得到正1反1的概率為0.5。對於4枚硬幣，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。對於6枚硬幣為0.3125，對於10枚硬幣為0.246。因此我們可以說，隨著事件數的增加，最終結果實際等於預期值的概率在減小。
數學期望是我們預期平均每次下注所贏得或輸掉的結果。然而，它並沒有解釋兩次下注之間的波動。在我們拋硬幣的例子中，我們知道拋一枚硬幣出現正面或反面的概率為50/50。我們預期經過N次試驗，大約有（1/2）*N拋擲將出現正面，（1/2）*N拋擲將出現反面。假定我們輸時會輸掉贏時所贏得的相同數量，我們可以說，不管N有多大，我們的數學期望均為0。
我們也知道，大約有68%的機會我們將位於期望值的±1個標準差之內。對於10次試驗（N=10），這表示我們的標準差為1.58。對於100次（N=100）試驗，這表示我們的標準差的 大小為5。對於1000次（N=1000）試驗，標準差大約為15.81。對於10000次（N=10000）試驗，標準差為50。
N（試驗次數） Std Dev（標準差） Std Dev/N（%）
10 1.58 15.8%
100 5 5.0%
1000 15.81 1.581%
10000 50 0.5%
注意：隨著N的增加，標準差也增加。這意味著與通常的信念相反，你賭得越久，你就離自己的期望值（以單位贏利或虧損表示）越遠。不過，隨著N的增加，標準差與N的百分比在減小。這意味著你賭得越久，你就越接近於你的期望值與全部行為（N）的百分比。這是「平均法則」正確的數學形式。換句話說，如果你進行長期的連續下注N，這裡，T等於你的總贏利或總虧損，E等於你的期望贏利或期望虧損，則，隨著N的增大，T/N趨近於E/N。另外，E和T之間的差異隨著N的增大而增大。
在圖1-3中，我們將觀察到拋60枚硬幣遊戲中的隨機過程。你也將在這張圖中看到±1及±2個標準差的曲線。注意：不論如何彎曲，它們都會繼續向外延伸。這服從我們剛剛談及的平均法則。
圖1-3 隨機過程：拋60枚硬幣的結果，中線兩側各有1個及2個標準差
莊家優勢（THE HOUSE ADVANTAGE）
現在，我們來看涉及莊家優勢時會發生什麼情況。我們仍然要談到拋硬幣的例子。上一次，我們看到拋60枚硬幣的對等或「公平」的遊戲。現在，我們來看在莊家具有5%優勢時會發生什麼情況。這樣一種遊戲的例子是拋一枚硬幣，當我們贏時可以贏得1.00美元，輸時會輸掉1.00美元。
圖1-4顯示了與我們前面所看到的一樣的拋60枚硬幣的遊戲，唯一區別是這裡涉及5%的莊家優勢。注意：在這種情況下，輸光是難免的—-因為上面的標準差開始向下彎曲（最終穿過下面的0軸）。
我們來看一下繼續參與數學期望為負的遊戲時會發生什麼情況。
N（次數） Std Dec（標準差） 期望 ±1個標準差
10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
100 5 -5 0至-10
1,000 15.81 -50 -34.19至-65.81
10,000 50 -500 -450至-550
100,000 158.11 -5000 -4842至-5158
1,000,000 500 -50000 -49500至-50500
在這裡，統計學中的各態歷經原理（the principle of ergodicity）在起作用。一個人來到賭場連續100萬次下注1美元或者100萬人每人同時下注1美元沒什麼關係。數字是一樣的。在賭場開始虧錢之前，100萬次下注將偏離數學期望100多個標準差！這裡起作用的是平均法則。按照同樣的考慮，如果你在莊家優勢為5%的遊戲中100萬次下注1美元，你同樣不可能賺錢。許多賭場遊戲具有超過5%的莊家優勢，像大多數體育賭注一樣。交易市場是一個零和遊戲。然而，交易市場涉及到佣金、費用以及最低價降低（floor slippage）等形式的少量資金消耗。通常，這些成本可能會超過5%。
下面，我們來看拋100枚遊戲具有或不具有5%莊家優勢的統計數字：
自中心的標準差 50/50的公平遊戲 5%莊家優勢的遊戲
+3 +15 +10
+2 +10 +5
+1 +5 0
0 0 -5
-1 -5 -10
-2 -10 -15
-3 -15 -20
如我們可以看到的，對於3個標準差的情況，我們有99.73%的機會可以預期在一場公平遊戲中贏或輸在+15與-15個單位之間。在莊家優勢為5%時可以預期，100次試驗結束，我們的最後結果在+10與-20個單位之間。對於2個標準差的情況，我們有95%的機會可以預期在一場公平遊戲中贏或輸在±10之內。在莊家優勢為5%的情況下，該數字為+5至-15個單位。對於1個標準差的情況，我們有68%的概率可以預期最後結果，我們在一場公平遊戲中贏或輸多達5個單位。然而，在莊家具有5%優勢的情況下，我們可以預期最後結果在什麼都贏不到與輸掉10個單位之間！注意：在莊家優勢為5%的情況下，在100次試驗之後並非不可能賺錢，但是你必須比整整1個標準差做得更好。你會驚訝地獲悉，在正態分佈中，比整整1個標準差做得更好的概率只有0.1587！
注意：在前面的例子中，自中線0個標準差（即，位於中線上）時，所輸的金額就等於莊家優勢。對於50/50的公平遊戲，所輸的金額等於0。你可能會預期不贏不輸。在莊家優勢為5%的遊戲中，在0個標準差時，你預期輸掉5%（即每100次試驗輸掉5個單位）。因此，我們可以認為，在涉及獨立過程的單調下注的情況下，你將以莊家佔優勢的比率輸錢。
莊家優勢（THE HOUSE ADVANTAGE）
現在，我們來看涉及莊家優勢時會發生什麼情況。我們仍然要提到拋硬幣的例子。上一次，我們看到了拋60枚硬幣的對等的或「公平的」遊戲。現在，我們來看莊家具有5%的優勢時會發生什麼情況。這種遊戲的一個例子就是拋一枚硬幣，我們贏時贏得1.00美元，輸時輸掉1.00美元。
圖1-4 莊家優勢為5%時拋60枚硬幣的結果
圖1-4顯示了與我們前面所看到的拋60枚硬幣相同的遊戲，唯一的區別是這裡涉及到5%的莊家優勢。隨著上面的標準差開始向下彎曲（最後穿越至零軸以下），請注意這種情況下輸光是如何難以避免的。
我們來看繼續參與數學期望為負的遊戲時會發生什麼情況。
N（次數） Std Dec（標準差） 期望 ±1個標準差
10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
100 5 -5 0至-10
1000 15.81 -50 -34.19至-65.81
10000 50 -500 -450至-550
100000 158.11 -5000 -4842至-5158
1000000 500 -50000 -49500至-50500
這裡，統計學中的各態歷經原理（the principle of ergodicity）在起作用。無所謂是一個人到賭場連續100萬次下注1美元還是100萬人到賭場每人同時下注1美元。數字是相同的。對於100萬賭注的情況，在賭場開始輸錢之前，你已經偏離期望值100多個標準差！這裡是平均法則在起作用。基於同樣的理由，如果你打算在莊家優勢為5%的遊戲中100萬次下注1美元，你同樣不可能贏錢。許多賭場遊戲就像大多數體育賭注一樣，具有超過5%的莊家優勢。交易市場是一種零和遊戲。然而，交易市場涉及到少量的佣金、費用以及最低價降低（floor slippage）等形式的資金消耗。通常，這些成本可能會超過5%。
自中心的標準差 50/50公平的遊戲 5%莊家優勢的遊戲
+3 +15 +10
+2 +10 +5
+1 +5 0
0 0 -5
-1 -5 -10
-2 -10 -15
-3 -15 -20
如我們能看到的，對於3個標準差的情況，在公平遊戲中，我們可以預期99.73%的機會結果是我們贏輸在±15個單位之間。在莊家優勢為5%時，我們可以預期100次試驗結束，我們的最後結果將在+10與-20個單位之間。對於2個標準差的情況，在公平遊戲中，我們可以預期有95%的機會結果是我們贏輸在±10個單位之間。在莊家優勢為5%時，這一結果在+5與-15個單位之間。對於1個標準差的情況，在公平遊戲中，我們有68%的概率可以預期最後結果是我們贏輸多達5個單位。然而，在莊家具有5%優勢的遊戲中，我們可以預期最後結果在什麼都贏不到與輸掉10個單位之間！注意：在莊家優勢為5%時，100次試驗之後並非不可能贏錢，但是你必須要比整一個標準差做得更好才行。你會吃驚地得知，在正態分佈中，你比整一個標準差做得更好的概率僅為0.1587！
注意：在前面的例子中自中線0個標準差（即，中線本身）處，你輸掉的金額就等於莊家優勢。對於50/50的公平遊戲，這一結果等於0。你預期不贏不輸。在莊家具有5%優勢的遊戲中，在自中線0個標準差處，你預期將輸掉5%（即，每100次試驗5個單位）。因此，你可以說，在涉及獨立過程的單調下注情況下，你將以莊家優勢的比率輸錢。
小於零的數學期望意味著災難（MATHEMATICAL EXPECTATION LESS THAN ZERO SPELLS DISASTER）！
這帶給我們另一條公理，可以表述如下：在負期望遊戲中，任何資金管理方案都不會使你成為贏家。如果你繼續下注，不管你用什麼方式管理自己的資金，幾乎可以肯定你將成為輸家，不論你一開始有多少賭注，你都會輸光你全部的賭注。
這聽上去似乎發人深思。負的數學期望（不管是負多少）已造成家庭破裂、自殺和謀殺，以及所有其他各種出乎賭徒們意料的結果。我希望你能夠認識到，對負的期望下注是怎樣一種令人難以置信的虧錢買賣，因為，即使是很小的一個負期望最終都會使你輸掉每一分錢。從數學的觀點來看，所有試圖比這種過程更聰明的嘗試都是徒勞的。不要將這一觀點與是否涉及非獨立或獨立試驗過程相混淆；這毫無關係。如果你的賭注總和是負的期望，你就是在做虧錢的買賣。
舉個例子，你參與一個你具有1/10注優勢的非獨立試驗過程，那麼，你必須在你具有優勢的賭注下足夠多的注，才能使所有這10注之和為正的期望。如果你預期在10注中有9注平均輸10分錢，但是你期望在你知道自己具有優勢的1/10注上贏10分錢，那麼你必須在你知道自己具有優勢的賭注上下注超過9次之多，僅僅是正好出現一個淨期望。如果你下的注比上面所說的少，你就仍處在負期望的情形中，而且，如果你繼續賭下去的話，幾乎可以肯定你會徹底輸光。
許多人錯誤地認為，參與一個負期望的遊戲將輸掉本錢相對於負期望的一定百分比。例如，當大多數人得知輪盤賭的數學期望為5.26%時，他們似乎認為這意味著，他們到賭場玩輪盤賭可以預期平均輸掉自己賭注的5.26%。這是一種危險的誤解。事實是，他們可以預期輸掉自己全部活動（total action）的5.26%，而不是自己全部賭注的5.26%。假定他們帶500美元去玩輪盤賭。如果他們每次20美元下500注，他們的全部活動就是10000美元，他們可以預期輸掉5.26%或者526美元，這超過了他們的全部賭注。
唯一聰明的做法就是當你具有正的期望時才下注。如我們將在後面一章中看到的，並不像負期望就是虧錢買賣一樣，正期望就是輕而易舉的賺錢買賣。你必須下註明確的數量，這個問題將詳盡地討論。但是，目前我們解決只在正期望市場條件下下注的問題。
至於賭場的賭博，你唯一可以發現正期望的情形是你必須在二十一點牌戲中記住牌，然後，你必須是一位出色的牌手，而且你必須正確地下注。可以找到很多有關二十一點牌戲的好書，因此，對二十一點牌戲我們這裡就不再贅述。
巴卡拉牌戲（BACCARAT）
如果你想去賭場賭博，卻又不想學會正確地玩二十一點，那麼，在所有別的賭場遊戲中，巴卡拉牌戲具有最小的負期望。換句話說，你會以較低的比率輸錢。下面是巴卡拉牌戲中的概率：
45.842%的時間銀行家贏。
44.683%的時間遊戲者贏。
9.547%的時間出現平局。
因為，平局被視為巴卡拉牌戲中一個PUSH（沒有資金換手，淨效果與這把牌沒有玩一樣），平局去除時概率就變成：
50.68%的時間銀行家贏。
49.32%的時間遊戲者贏。
現在我們來看數學期望。對於遊戲者一方：
ME=(0.4932*1)+((1-0.4932)*(-1))
=(0.4932*1)+(0.5068)*(-1)
=0.4932-0.5068
=-0.0136
換句話說，莊家對遊戲者的優勢為1.36%。
現在，對於銀行家一方，記住只在銀行家一方贏錢時才加收5%的佣金，數學期望為：
ME=(0.5068*0.95)+((1-0.5068)*(-1))
=(0.5068*0.95)+(0.4932*(-1))
=0.48146-0.4932
=-0.01174
換句話說，一旦在銀行家贏錢時加收5%的佣金，莊家就具有1.174%的優勢。
如你所看到的，對遊戲者下注毫無意義，因為遊戲者的負期望比銀行家的負期望還要糟：
遊戲者的優勢 -0.0136
銀行家的優勢 -0.01174
銀行家相對遊戲者的優勢 0.00186
換句話說，經過大約538手（1/0.00186），銀行家將領先遊戲者1個單位。如果再玩更多手，這一優勢將更加明確。
這並不表示銀行家具有正期望—-銀行家不具有正期望。銀行家和遊戲者都具有負期望，但是銀行家沒有遊戲者的負值大。如果每一手你都對銀行家下注一個單位，你可以預期大約每85手（1/0.01174）輸掉一個單位；而如果每一手你都對遊戲者下注一個單位，你預期每74手（1/0.0136）輸掉一個單位。你會以較緩慢的比率、但不一定是較緩慢的速度輸錢。大多數巴卡拉牌桌都有25美元的最低賭注。如果每一手你對銀行家下注一個單位，經過85手你可以預期失去25美元。
我們來比較一下巴卡拉牌戲中的下注與輪盤賭中對紅球/黑球的下注。在輪盤賭中，你的數學期望為-0.0526，但最低下注規模為2美元。經過85次旋轉，你預期失去大約9美元（2*85*0.0526）。正如你可以看到的，數學期望也是全部賭注金額（即，全部操作）的函數。如同我們在巴卡拉牌戲中所做的，每次旋轉我們都對紅色輪盤（或黑色輪盤）下注25美元，與巴卡拉牌戲中的期望損失25美元相比，經過85次旋轉我們預期失去112美元。
數字遊戲（NUMBERS）
最後，我們來看一下數字遊戲中有關的概率。如果巴卡拉牌戲是富人的遊戲，數字遊戲就是窮人的遊戲。數字遊戲中的概率絕對令人感到淒慘。這裡有一種遊戲，遊戲者可以在0-999之間任選一個3位數，並且下注1美元賭這個數字會被選中。被選中作為當天數字的數字通常：（1）無法被操縱；（2）可以廣為宣傳。舉個例子，取股票市場日成交量後5位數字的前3位數字。如果遊戲者輸了，他下注的1美元就輸掉了。如果遊戲者碰巧贏了，回報就是700美元，他就得到699美元的淨利潤。數字遊戲的數學期望為：
ME=(699*(1/1000))+((-1)*(1-(1/1000)))
=(699*(0.001))+((-1)*(1-0.001))
=0.699+(-0.999)
=-0.3
換句話說，你的數學期望是所操作的每一美元輸掉30美分。這遠比包括科諾（Keno）在內的任何賭場遊戲都更加不利。與輪盤賭這樣的概率不利的遊戲相比，數字遊戲的數學期望的不利程度幾乎為其6倍。以數學期望來表示，唯一比這種情況更加不利的賭博是大部分的足球彩票以及許多種聯邦彩票。
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